方向余弦和梯度

方向余弦

我们首先来通过二维向量来理解一下，方向余弦的定义：

在平面指教坐标系中，一个向量 $\overrightarrow{l}=(x,y)$$\vec{l} = (x, y)$, 它和 $x$$x$轴的夹角为$\alpha$$\alpha$, 它和$y$$y$轴的夹角为那么$\beta$$\beta$ , 那么 $\cos \alpha$$\cos \alpha$,$\cos \beta$$\cos \beta$就叫作向量$\overrightarrow{l}$$\vec{l}$的方向余弦。

这个向量的长度我们也很容易的算出来:

$|\overrightarrow{l}|=\sqrt{x^2+y^2}$$|\vec{l}|\ = \sqrt{x^2 + y^2}$

那么，我们的方向余弦就是：

$\cos \alpha =\frac{x}{|\overrightarrow{l}|},\cos \beta =\frac{y}{|\overrightarrow{l}|}$$\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{l}|},\quad\cos\beta = \frac{y}{|\vec{l}|}$

将 $|\overrightarrow{l}|$$|\vec{l}|\ $带入第二个式子，我们就可以知道，方向余弦的平方和等于 1.

其实我们就可以知道，其实向量的方向余弦组成的向量 = 该向量方向上的单位向量。

${\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(B)-f(A)}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$\left. \frac{\partial z}{\partial\vec{l}}\right|_{(x_0, y_0)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{\Delta z}{t} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(B) - f(A)}{t} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(x_0 + t\cos\alpha,\ y_0 + t\cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$

下面的图像帮助我们理解：

方向导数

我们了解完了方向余弦的定义之后，我们来看方向导数。其实我们知道导数的定义其实最本质的就是， $∆\text{因}\text{变}\text{量}/∆\text{自}\text{变}\text{量}$$∆因变量 / ∆自变量$ 让 $∆\text{自}\text{变}\text{量}$$∆自变量$ 趋于 $0$$0$的值，就是我们导数的最根本的定义。 我们研究偏导数是让$x$$x$当常数或者$y$$y$当常数(二元的情况)，另一个变化来研究函数的在这一方向的变化率的。那在研究方向导数的时候，我们其实是要求两个变量都要变（二元的情况），如上图：从点 $A(x_0,y_0)$$A(x_0, y_0)$移动到点 $B(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )$$B(x_0 + t\cos\alpha,\ y_0 + t\cos\beta)$，$A$$A$点变化到$B$$B$点的方向与$x$$x$轴的正方向的夹角是$\alpha$$\alpha$,与y轴正方向的夹角是$\beta$$\beta$,自变量的增量我们记作$t$$t$， 沿方向 $\overrightarrow{l}$$\vec{l}$​增量分量：

$\mathrm{\Delta }x=t\cos \alpha$$\Delta x = t \cos\alpha$

$\mathrm{\Delta }y=t\cos \beta$$\Delta y = t \cos\beta$

t其实是我们向量$\overrightarrow{l}$$\vec{l}$的模长，我们因变量的增量我们记作$∆z$$∆z$，$f(B)$$f(B)$是B点的函数值，$f(A)$$f(A)$是A点的函数值。那么我们分子就可以用三角函数的知识把增量表达出来：

${\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(B)-f(A)}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$\left. \frac{\partial z}{\partial\vec{l}}\right|_{(x_0, y_0)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{\Delta z}{t} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(B) - f(A)}{t} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(x_0 + t\cos\alpha,\ y_0 + t\cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$

那么上面的式子就是我们方向导数的完整定义式。

当我们$f(x,y)$$f(x,y)$可偏导，则方向导数和偏导数的关系：

1. 若 $\overrightarrow{l}$$\vec{l}$ 为 $x$$x$ 轴正方向，则 $\alpha =0$$\alpha = 0$，$\beta =\frac{\pi }{2}$$\beta = \frac{\pi}{2}$，有 $\cos \alpha =1$$\cos\alpha = 1$，$\cos \beta =0$$\cos\beta = 0$， 化为

$\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}=f_x(x_0,y_0)$$\ \lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0 + t,\ y_0) - f(x_0,\ y_0)}{t} = f_x(x_0,\ y_0) \ $。

2. $\overrightarrow{l}$$\vec{l}$ 为 $y$$y$ 轴正方向，则 $\alpha =\frac{\pi }{2}$$\alpha = \frac{\pi}{2}$，$\beta =0$$\beta = 0$，有 $\cos \alpha =0$$\cos\alpha = 0$，$\cos \beta =1$$\cos\beta = 1$， 化为

$\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)}{t}=f_y(x_0,y_0)$$\lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0,\ y_0 + t) - f(x_0,\ y_0)}{t} = f_y(x_0,\ y_0) \ $。

所以我们就知道其实偏导数其实是方向导数的特例。

上面其实我们用的是导数的定义来证明的，接下来我们来用全微分的定义，来推倒一下我们更常见的形式。

若$z=f(x,y)$$z = f(x, y)$可微，则：

$\mathrm{\Delta }z=f_x\mathrm{\Delta }x+f_y\mathrm{\Delta }y+o\left(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}\right)$$\Delta z = f_x \Delta x + f_y \Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$

又因为$\mathrm{\Delta }x=t\cos \alpha$$\Delta x = t \cos\alpha$，$\mathrm{\Delta }y=t\cos \beta$$\Delta y = t \cos\beta$，所以上面的式子化为：

$f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)=f_x\cos \alpha \cdot t+f_y\cos \beta \cdot t+o(t)$$f(x_0 + t\cos\alpha, y_0 + t\cos\beta) - f(x_0, y_0) = f_x \cos\alpha \cdot t + f_y \cos\beta \cdot t + o(t)$

然后我们两边同时除以$t$$t$，取极限，是不是左边就变成了我们上面用导数定义去定义的方向导数的式子， 而右边就变成了$f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta$$f_x \cos\alpha + f_y \cos\beta$​, 那么是不是就可以用就可以变成向量的点乘，把这个结果拆开了：

${\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{(x_0,y_0)}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta =(f_x,f_y)\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta )$$\left. \frac{\partial z}{\partial\vec{l}} \right|_{(x_0, y_0)} = f_x \cos\alpha + f_y \cos\beta = (f_x,\ f_y) \cdot (\cos\alpha,\ \cos\beta)$​

那么我们就由此引入了梯度的概念，在二元函数的情况下，$(f_x,f_y)$$(f_x,\ f_y)$这个我们就定义成了梯度向量的概念。

$\mathrm{\nabla }f$$\nabla f$是梯度向量的表示方式，所以方向导数的定义我们还可以通过上面的式子这样写：

${\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{(x_0,y_0)}=\overrightarrow{l}\cdot \mathrm{\nabla }f$$\left. \frac{\partial z}{\partial\vec{l}} \right|_{(x_0, y_0)} = \vec{l} \cdot\nabla f$

解释一下就是：一点的方向导数就等于方向余弦乘以我们的梯度向量。

一个函数在某点处的方向导数其实是等于 方向余弦点乘梯度，方向肯定是可以变的，梯度向量（梯度函数）我们一旦函数的一个点确定了，也是不可以变的了（即方向都是定了的）。

但是我们的方向方向导数是可以360°去变的，那么接下来，我们就研究一下，方向导数到底是怎么去变的？

这里我们使用一下向量点乘的规则，两个向量点乘，就等于两个向量的模相乘再乘以他们夹角的余弦值。那么：

${\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{(x_0,y_0)}=\overrightarrow{l}\cdot \mathrm{\nabla }f=|\overrightarrow{l}|\cdot |\mathrm{\nabla }f|\cdot \cos \theta =|\mathrm{\nabla }f|\cdot \cos \theta$$\left. \frac{\partial z}{\partial\vec{l}} \right|_{(x_0, y_0)} = \vec{l} \cdot\nabla f = |\vec{l}| \cdot|\nabla f| \cdot \cos\theta = |\nabla f| \cdot \cos\theta$

又因为$|\overrightarrow{l}|$$|\vec{l}|$这个是方向余弦是个单位向量，长度为1，那么我们就可以得出，一个函数在一点的方向余弦其实是跟夹角的余弦值只是有关系的。

所以$-1<=\cos \theta <=1$$-1<=\cos \theta <= 1$ 。

• 那么 $\theta =0$$\theta = 0$的时候$\cos \theta =1$$\cos \theta = 1$，$\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}=|\mathrm{\nabla }f|$$\frac{\partial z}{\partial\vec{l}} = |\nabla f|$，那么也就是说，当为的这个l向量就是沿着我们的梯度向量的方向的时候，我们的方向导数最大，最大就是梯度向量的模；

• 那么$\theta =\frac{\pi }{2}$$\theta = \frac{\pi}{2}$的时候，$\cos \theta =0$$\cos \theta = 0$， $\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}=0$$\frac{\partial z}{\partial\vec{l}} = 0$；

• 当 $\theta =\pi$$\theta = {\pi}$的时候，此时l 向量是沿着我们梯度向量的相反方向时候，$\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}=-|\mathrm{\nabla }f|$$\frac{\partial z}{\partial\vec{l}} = -|\nabla f|$​,此时方向导数最小。

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